第343章 刘徽（2 / 4）

思路一脉相承。

更重要的是，“割圆术”首次将“极限”思想引入数学计算，其逻辑严密性远超同时代的西方数学，成为中国古代数学理论的标志性成果。

《九章算术·方程》篇主要探讨线性方程组的解法，传统方法为“直除”法（即类似现代的“加减消元法”），但当方程组中未知数系数较大或项数较多时，“直除”法操作繁琐且容易出错。

刘徽在注解中，创造性地提出了“互乘相消”法，即通过将两个方程的两边分别乘以对方未知数的系数，使其中一个未知数的系数相等，再进行加减消元，这一方法与现代线性方程组的“代入消元法”本质一致，极大地简化了计算过程。

此外，刘徽还首次明确了“负数”在方程中的应用规则。

他指出，当方程中出现“不足”或“亏欠”的量时，可用“负”来表示，并用“赤筹”表示正数，“黑筹”表示负数，同时规定了“正负数加减法则”：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之”，这一规则与现代数学的正负数加减法则完全一致，比西方最早提出负数概念的印度数学家早约600年。

在几何领域，刘徽提出了着名的“出入相补”原理，即“割补术”——将一个几何图形分割成若干部分，再将这些部分重新拼接成另一个图形，其面积或体积保持不变。这一原理成为他证明各种几何公式的核心工具。

例如，在证明“勾股定理”时，刘徽并未满足于《九章算术》中“勾三股四弦五”的经验性结论，而是通过“弦图”（即一个大正方形内包含四个全等的直角三角形和一个小正方形），利用“出入相补”原理，严格证明了“勾2 + 股2 = 弦2”。

他在注文中写道：“勾股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦”，并通过图形割补，清晰地展示了“勾实”“股实”与“弦实”之间的面积关系，使勾股定理的证明具备了坚实的理论基础。

在体积计算方面，刘徽同样运用“出入相补”原理，解决了“阳马”（底面为矩形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥）与“鳖臑”（四个面均为直角三角形的三棱锥）的体积问题。

他通过将一个长方体分割成三个全等的阳马，或一个阳马分割成两个全等的鳖臑，证明了“阳马体积 = 1\/3x底面积x高”“鳖臑体积 = 1\/6x底面积x高”，并进一步推导出“任何拟柱体的体积均可通过分割为阳马、鳖臑等基本几何体来计算”，为后来祖暅提出“祖暅原理”（即“幂势既同，则积不容异”）奠定了基础。

除《九章算术注》外，刘徽还着有《海岛算经》一卷（原附于《九章算术注》之后，唐代独立成篇），这部着作是中国古代测量学的集大成之作，专门探讨“可望而不可即”的物体（如海岛、山峰、深井等）的高度、距离测量问题，其核心方法是“重差术”。

“重差术”的本质是利用两次或多次测量所得的“差”，结合相似三角形的性质，推算出未知量。

例如，《海岛算经》开篇第一题“望海岛”：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表参相直。从前表却行一百二十三步，人目着地望岛峰，与表末参合。从后表却行一百二十七步，人目着地望岛峰，亦与表末参合。问岛高及去表各几何？”

刘徽的解法是：首先，设海岛高度为h，前表到海岛的距离为d，两表间距为d，前表却行距离为a1，后表却行距离为a2。

根据相似三角形原理，他推导出公式： h = 3 + \\frac{3xd}{a2 - a1} ， d = \\frac{a1xd}{a2 - a1} ，代入题目中的数值（1步=6尺，3丈=30尺